一、定义

二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉查找树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉查找树。
　　上述性质简称二叉查找树性质(BST性质)，故二叉查找树实际上是满足BST性质的二叉树。

二、特点

　　由BST性质可得：
　　（1） 二叉查找树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
　　（2） 二叉查找树中，各结点关键字是惟一的。注意：实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉查找树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
　　（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。如下图所示的两棵树均是二叉查找树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。

三、插入运算

　　在二叉查找树中插入新结点，要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是：
(a)若二叉查找树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
(b)若二叉查找树T不为空，则将key和根的关键字比较：
 　　(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
 　　(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
 　　(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
　　子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉查找树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。
注意：输入序列决定了二叉查找树的形态。二叉查找树的中序序列是一个有序序列。所以对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉查找树，其实质是对此关键字序列进行排序，使其变为有序序列。因此，人们又常常将二叉查找树称为二叉排序树。通常将这种排序称为树排序(Tree Sort)，可以证明这种排序的平均执行时间亦为O(nlgn)。对相同的输入实例，树排序的执行时间约为堆排序的2至3倍。因此在一般情况下，构造二叉排序树的目的并非为了排序，而是用它来加速查找，这是因为在一个有序的集合上查找通常比在无序集合上查找更快，“查找树"的名称也由此而来。

四、删除运算

从二叉查找树中删除一个结点，不能把以该结点为根的子树都删去，并且还要保证删除后所得的二叉树仍然满足BST性质。

一般步骤：
(a) 进行查找。查找时，令p指向当前访问到的结点，parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回，否则被删结点是p。
(b) 删去p。删去p时，应将p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按p的孩子数目分三种情况进行处理。
　　　　(i)p是叶子(即它的孩子数为0)，无须连接p的子树，只需将p的双亲parent中指向p的指针域置空即可。
　　　　(ii)p只有一个孩子child，只需将child和p的双亲直接连接后，即可删去p。注意，p既可能是parent的左孩子也可能是其右孩子，而child可能是p的左孩子或右孩子，故共有4种状态。
　　　　(iii)p有两个孩子，先令q=p，将被删结点的地址保存在q中；然后找q的中序后继p，并在查找过程中仍用parent记住p的双亲位置。q的中序后继p一定是q的右子树中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去q的操作转换为删去的p的操作，即在释放结点p之前将其数据复制到q中，就相当于删去了q。如下图BST中删除37：

五、查找运算

　　在BST中查找一个值。如果树中的某个值与要查找的值相等，则返回这个结点，否则报告查找不成功。
　　进行查找时，先用目标值与树根的值相比较。如果相等，则找到；否则，如果目标值大于根的值，则继续在根的右子树中继续查找；如果目标值小于根的值，则继续在根的左子树中继续查找。
　　相同的关键字集合可能构成多棵不同的BST树。查找目标过程中，从根到目标结点之间的路径上的结点个数就是要进行比较的次数。树越平衡，要比较的次数越少。
　　如果二叉树接近平衡，则在树中查找一个结点时，需要进行的比较次数接近O(log n)。如果树退化为一个直链，则树的查找类似于顺序查找，其比较次数接近于O(n) ，这是树查找中的最坏时间复杂度。
　　一般不能预测要建立的二叉树的树型。实际上，如果关键字的排列是随机的，则建立的二叉树的树型将比较平衡，查找的效率接近二分查找。

六、平衡二叉树

    　为了保证二叉查找树的高度为lgn，从而保证然二叉查找树上实现的插入、删除和查找等基本操作的平均时间为O(lgn)，在往树中插入或删除结点时，要调整树的形态来保持树的“平衡”。使之既保持BST性质不变又保证树的高度在任何情况下均为O(lgn)，从而确保树上的基本操作在最坏情况下的时间均为O(lgn)。

注意：
　    ①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。
    　②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。
    　③平衡的二叉查找树指满足BST性质的平衡二叉树。
    　④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树度高约为lgn，AVL树是接近最优的。